粒子统计

本文主要讨论粒子统计（即全同粒子体系分为费米子和玻色子两种），是 Weinberg I 的第 4.1 节的内容的笔记，所以记号习惯也遵循 Weinberg，而其中特别重要的那些将会在后文中提及。

本文默认在 3+1 维时空中讨论问题，所以对有质量粒子的 little group 为 $\operatorname{SU}(2)$ ，对无质量粒子的 little group 为 $\operatorname{U}(1)$ ，后面会看到，粒子统计依赖于单粒子的 little group. 所以，当我们来到二维世界，时空对称性群含单位元的连通分支为 $\operatorname{SO}(2,1)$ ，它的基本群是 $\mathbb{Z}$ ，远比 $\text{Poincar\'{e}}$ 群的基本群 $\mathbb{Z}_2$ 要大。这也就意味着我们考虑其 projective representation 的时候要考虑一个很大的万有覆叠群，而 little group 是其子群。如此粗略的讨论告诉我们，二维空间的统计可能与本文讨论的统计非常不同，事实也正是如此，不同于费米和玻色子的 anyon 至今依然是一个很紧俏的名词。

在 Weinberg I 的第 9.7 节重新讨论了全同粒子的统计，那里使用了路径积分的方法，不依赖时空的维度，那里也可以看到时空的拓扑是如何影响统计的。不过，我还是留有一个疑惑，时空的拓扑和时空的对称性（这里是 little group），两者都可能影响粒子的统计，那么它们（影响统计的方式）之间的存在联系吗？

约定与基本事实

我们约定如下记号：考虑多粒子态 $\Psi_{\cdots,q,\cdots}$ ，其中 $q$ 是所有粒子的可能变量的组，比如 $q=(\mathbf{p},\sigma,n)$ ， $\mathbf{p}$ 是3-动量，而 $\sigma$ 是自旋/helicity， $n$ 是粒子种类。如果写 $q+1$ 或者 $q-1$ ，是指自旋加 $1$ 或减 $1$ ，其他不变。如果写 $\Lambda q$ ，是指 $q$ 的四动量 $p$ 变成 $\Lambda p$ ，其他不变。如果写 $q^c$ ，是指粒子种类变成反粒子，其他不变。如果写 $-q$ ，是指粒子自旋/helicity变成相反数，其他不变。

设 $\Psi_{q_i}$ 的空间为 $\mathcal{H}_i$ ，则多粒子态所处的空间为 $\mathcal{H}_{1}\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}_{N}.$ 如果需要考虑不同粒子数的态，则可能还需要将这些张量积直和起来。但是，我们没有理由说多粒子态 $\Psi_{q_1,\dots,q_N}$ 就是简单的张量积 $\Psi_{q_1}\otimes\cdots\otimes \Psi_{q_N}.$ 因为实验上发现，如果存在 $\mathcal{H}_i=\mathcal{H}_j$ 的情况，则物理上制备出来的多粒子态的概率分布与简单的张量积是不同的。特别地，我们考虑所有的 $\mathcal{H}_i$ 都相同的情况，即所谓的全同粒子系统。此时，全同粒子假设告诉我们在全同例子体系中，真正的多粒子态应该长什么样。

不管怎么样，考虑 $N$ 个全同粒子，则多粒子态 $\Psi_{q_1,\dots,q_N}$ 应该是 $\Psi_{q_{\tau(1)}}\otimes\cdots\otimes \Psi_{q_{\tau(N)}}$ 的线性组合，其中 $\tau$ 属于粒子集合 $\{q_i\,:\,1\leq i \leq N\}$ 的最大对称群，这里为有限群，其实也就是 $S_N$ ，所以具有形式 $\Psi_{q_1,\dots,q_N}=\sum_{\tau\in S_N}a_\tau(q_1,\dots,q_N)\Psi_{q_{\tau(1)}}\otimes\cdots\otimes \Psi_{q_{\tau(N)}}$

在多粒子态的空间中，内积通过张量积自然地拓展过来，此时归一化关系为 $(\Psi_{q_1}\otimes\cdots\otimes \Psi_{q_N},\Psi_{q'_1}\otimes\cdots\otimes \Psi_{q'_N})=\prod_{i=1}^N \delta(q_i-q'_i)=\prod_{i=1}^N \delta^3(\mathbf{p}_i-\mathbf{p}'_i)\delta_{n_i,n'_i}\delta_{\sigma_i,\sigma'_i}.$ 对于全同粒子的多粒子态，我们有 $(\Psi_{q_1,\dots,q_N},\Psi_{q'_1,\dots,q'_N})=\sum_{\tau,\sigma\in S_N}a_\tau(q_{1},\dots,q_{N})^*a_\sigma(q'_{1},\dots,q'_{N})\prod_{i=1}^N \delta(q_{\tau(i)}-q'_{\sigma(i)}).$ 特别地，如果存在一个 $q_i$ 与 $\{q'_1,\dots,q'_N\}$ 中所有的态都不同，则 $\Psi_{q_1,\dots,q_N}$ 和 $\Psi_{q'_1,\dots,q'_N}$ 正交。

如果对每一个 $\Psi_{q_i}$ ，我们有 $\text{Poincar\'{e}}$ 群的表示 $U_i(\Lambda,a)$ ，那么对多粒子态，我们可以定义出一个张量表示 $U(\Lambda,a)\Psi_{q_1}\otimes\cdots\otimes \Psi_{q_N}=U_1(\Lambda,a)\Psi_{q_1}\otimes\cdots\otimes U_N(\Lambda,a)\Psi_{q_N}.$ 所以根据 little group 的表示，我们有（比如这里全是有质量粒子） $U(\Lambda)\Psi_{q_1}\otimes\cdots\otimes U(\Lambda)\Psi_{q_N}=\sum_{\sigma'}\prod_{i=1}^N \sqrt{\frac{(\Lambda p)^0_i}{p^0_i}}D^{j_i}_{\sigma_i'\sigma_i}(W(\Lambda,p_i))\Psi_{(\Lambda \mathbf{p}_1,\sigma'_1,n_1)}\otimes \cdots\otimes \Psi_{(\Lambda \mathbf{p}_N,\sigma'_N,n_N)}.$ 对无质量粒子，写作 $U(\Lambda)\Psi_{q_1}\otimes\cdots\otimes U(\Lambda)\Psi_{q_N}=\prod_{i=1}^N \sqrt{\frac{(\Lambda p)^0_i}{p^0_i}}\exp(i\sigma_i \theta(\Lambda,p_i))\Psi_{(\Lambda \mathbf{p}_1,\sigma_1,n_1)}\otimes \cdots\otimes \Psi_{(\Lambda \mathbf{p}_N,\sigma_N,n_N)}.$ 不难检验，此时多粒子态也拥有相同的表示。

现在，我们给出多粒子的相对论量子力学应该满足的公理（实验事实）：

单粒子量子力学基本假设。

全同粒子假设： $\Psi_{\cdots,q_n,\cdots,q'_n,\cdots}$ 与 $\Psi_{\cdots,q'_n,\cdots,q_n,\cdots}$ 处于同一个ray中。

集团分解原理：足够分开的实验应该产生独立的结果。

下面，让我们首先关注粒子的统计。

在进行粒子统计之前，我们首先对零质量粒子多说一句话：零质量粒子的 helicity 来自于 $\operatorname{U}(1)$ 的幺正表示（ little group 要比这大一些，但因为有两个连续指标暂时并没有实验上的证据说明它们存在，所以这里考虑 $\operatorname{U}(1)$ ）。 $\operatorname{U}(1)$ 的幺正不可约表示一定具有形式 $\exp(i\theta)\to \exp(in\theta)$ ，其中 $n$ 可以为任意整数。这里的 $n$ 对应于 $2\sigma$ ，是两倍的 $J_3$ 的本征值，故 $\sigma$ 只可能为整数或者半整数，这就是零质量粒子的 helicity.

需要注意的是，如果不含时空反演，Lorentz 群并不提供改变 helicity 的方式，即这是一个标量。所以按照粒子分类的一般精神，不同 helicity 的粒子应该认为是不同粒子，虽然它们确实有可能相同。特别地，helicity 分别为 $\sigma$ 和 $-\sigma$ 的粒子也可能是不同的。所以，对零质量全同粒子体系，我们这里应当认为它们的 helicity 都是相同的。

Lemma 1. 对称群 $S_N$ 的一维表示只有两种，一种是平凡表示，一种是 $\operatorname{sign}:\tau\mapsto \operatorname{sign}(\tau)$ .

Proof. 设

\rho

是一个一维表示，对两两置换

\sigma

，我们一定有

\rho(\sigma)=\pm 1

，再由对称群中元素可以有两两置换生成，所以任取

\sigma\in S_N

，都有

\rho(\sigma)=\pm 1

.如果任取两两置换

\sigma

，都有

\rho(\sigma)=1

，则这是平凡表示，因为两两置换生成整个对称群。否则，存在一个

\sigma

使得

\rho(\sigma)=-1

. 注意到恒等式

\rho[(\tau(i)\tau(j))]=\rho[\tau (ij)\tau^{-1}]=\rho[(ij)],

其中

\tau

是

S_N

中的任意置换。所以

\rho

作用在任意的两两置换上都是

-1

，这就是表示

\operatorname{sign}:\tau\mapsto \operatorname{sign}(\tau)

考虑 $N$ 个自由全同粒子，再考虑一个置换 $\tau\in S_N$ . 从全同粒子假设，我们应该有 $\Psi_{q_{\tau(1)},\dots,q_{\tau(N)}}=\alpha_\tau(q_1,\dots,q_N)\Psi_{q_1,\dots,q_N}.$ 如果有两个置换 $\tau$ , $\xi\in S_N$ ，那么不难看到复合公式 $\alpha_{\tau\xi}(q_1,\dots,q_N)=\alpha_{\tau}(q_{\xi(1)},\dots,q_{\xi(N)})\alpha_{\xi}(q_1,\dots,q_N)$ 成立。

考虑一个特别特殊的例子，此时 $q_1=q_2=\cdots=q_N=q$ ，那么复合公式告诉我们 $\tau \mapsto \alpha_\tau$ 构成了一个 $S_N$ 的一维表示，所以 $\tau=\pm 1$ . 稍微一般些，设 $A$ 是 $\{1,\dots,N\}$ 的一个子集，对应的 $\{q_i\,:\,i\in A\}$ 都相同，则保持 $A$ 不变的置换构成了 $S_N$ 的一个子群 $S_A$ ，它同构于对称群 $S_{N-|A|}$ ，按照复合公式， $\tau \mapsto \alpha_\tau$ 构成了 $S_A$ 的一个一维表示，所以对 $\tau \in S_A$ ，我们也有 $\alpha_\tau=\pm 1$ . 通过认为 $\alpha_r$ 是一个动量的连续函数，我们可以认为 $\alpha_r=\pm 1$ 不依赖于动量，但即使如此我们也无法断言这些 $\alpha_r=\pm 1$ 是否依赖于自旋，比如自旋为电子在自旋为 $1/2$ 或者 $-1/2$ 可能会得到不同的 $\alpha_\tau$ .

此外，如果我们这里考虑的， $N$ 个粒子的动量都并不完全相同，则 $\tau \mapsto \alpha_\tau$ 此时不是 $S_N$ 的一个一维表示。那么是否有 $\alpha_r=\pm 1$ 都不得而知，更别说判断 $\alpha_r$ 是否依赖于动量了。

Lemma 2. 对有质量粒子的 little group ，任取 $R\in \operatorname{SU}(2)$ ，我们有 $W(R,p)=R$ .

证明见 Weinberg 第2.5节。

下面一个定理是本文的主要结论，它排除 $\alpha_\tau$ 对自旋的依赖（零质量粒子不需要担心这个），并且给出了其对动量依赖的形式。

Theorem 3.考虑 $N$ 个自由全同粒子组成系统，则 $\alpha_\tau$ 仅为所有 $p_i\cdot p_j$ 的函数，其中 $p_i$ 为第 $i$ 个粒子的 $4$ -动量。

Proof. 在多粒子态

\Psi_{q_1,\dots,q_N}

中，原则上可能存在

q_i=q_j

的情况，所以，方便起见，可以适当重排，假设序列

q_1

\dots

q_N

满足条件：如果

q_i=q_j

，则对任意的

i\leq k\leq j

都有

q_k=q_i=q_j

. 换而言之，我们将完全相同的粒子（不仅种类，整个状态都是）放到了一起。考虑Lorentz变换

\Lambda

在态上的作用,

U_0(\Lambda)\Psi_{q_{\tau(1)},\dots}=\alpha_\tau(q_1,\dots)U_0(\Lambda)\Psi_{q_1,\dots}.

下面我们对质量进行分类讨论。对无质量粒子，利用 little group 的表示，打开两边就得到了（注意这里并没有helicity的指标）

\Psi_{\Lambda \mathbf{p}_{\tau(1)},\dots}=\alpha_\tau(\mathbf{p}_1,\dots)\Psi_{\Lambda \mathbf{p}_1,\dots},

再利用

\Psi_{\Lambda \mathbf{p}_{\tau(1)},\dots}=\alpha_\tau(\Lambda \mathbf{p}_1,\dots)\Psi_{\Lambda \mathbf{p}_1,\dots},

于是

\alpha_\tau(\mathbf{p}_1,\dots)=\alpha_\tau(\Lambda \mathbf{p}_1,\dots).

所以

\alpha_r

现在是标量，它只能是

\{p_i\cdot p_j\,:\, i\neq j\}

，这些是我们唯一可以通过动量构造的标量。对于

i=j

的情况，

p_i\cdot p_i=-m^2

，我们可以认为这是关于粒子种类的指标，所以暂时不予考虑。对有质量粒子，利用 little group 的表示，打开两边得到（这里的

j_i

都是相同的，所以就略去了）

\alpha_\tau(q_1,\dots)\sum_{\sigma'}\prod_{i=1}^N D_{\sigma_i'\sigma_i}(W_i)\Psi_{(\Lambda \mathbf{p}_1,\sigma'_1),\dots}=\sum_{\sigma'}\prod_{i=1}^N D_{\sigma_i'\sigma_i}(W_i)\Psi_{(\Lambda \mathbf{p}_{\tau(1)},\sigma'_{\tau(1)}),\dots}

换句话说

\alpha_\tau(q_1,\dots)\sum_{\sigma'}\prod_{i=1}^N D_{\sigma_i'\sigma_i}(W_i)\Psi_{(\Lambda \mathbf{p}_1,\sigma'_1),\dots}=\sum_{\sigma'}\prod_{i=1}^N D_{\sigma_i'\sigma_i}(W_i)\alpha_\tau(\Lambda q'_1,\dots)\Psi_{(\Lambda \mathbf{p}_{1},\sigma'_{1}),\dots},\tag{1}

我们现在选取

\Lambda\in \operatorname{SU}(2)

，对有质量粒子，Lemma 2 告诉我们

W(R,p)=R

并不依赖于

p

. 所以式 (1) 中的

W_i

也都等于

R

，即

\alpha_\tau(q_1,\dots)\sum_{\sigma'}\prod_{i=1}^N D_{\sigma_i'\sigma_i}(R)\Psi_{(R \mathbf{p}_1,\sigma'_1),\dots}=\sum_{\sigma'}\prod_{i=1}^N D_{\sigma_i'\sigma_i}(R)\alpha_\tau(R q'_1,\dots)\Psi_{(R \mathbf{p}_{1},\sigma'_{1}),\dots},

现在，取变换

R=\exp(i\omega J)

，其中

J\in \mathfrak{su}(2)

，当

\omega

很小的时候

D_{\sigma_i'\sigma_i}(R)=\delta_{\sigma_i'\sigma_i}+i\omega D(J)_{\sigma_i'\sigma_i},

以及

\prod_{i=1}^N D_{\sigma_i'\sigma_i}(R)=\prod_{i=1}^N \delta_{\sigma_i'\sigma_i}+\sum_{i=1}^Ni\omega D(J)_{\sigma_i'\sigma_i}\delta_{\sigma_1'\sigma_1}\cdots \widehat{\delta_{\sigma_i'\sigma_i}}\cdots \delta_{\sigma_N'\sigma_N},

代入并取出

\omega

的一阶项可以得到

\alpha_\tau(q_1,\dots)\sum_{i=1}^N \sum_{\sigma_i'}D(J)_{\sigma'_i \sigma_i}\Psi_{\sigma'_i}^0=\sum_{i=1}^N\sum_{\sigma_i'}D(J)_{\sigma'_i \sigma_i}\alpha_\tau(q_1,\dots,q'_i,\dots,q_N)\Psi_{\sigma'_i}^0+C_J(q_1,\cdots) \Psi_{q_1,\dots},

其中

\Psi_{\sigma'_i}^0=\Psi_{ q_1,\dots, q_i',\dots, q_N}

，而

C_J(q_1,\cdots)

来自于

\alpha(Rq_1,\dots)

关于

\omega

的级数展开的一阶项，具体形式在这里并不重要。取升降算符

J_\pm

，设我们现在考虑的全同粒子的最高自旋为

j

，则具体的矩阵元为

D(J_\pm)_{\sigma'\sigma}=\delta_{\sigma',(\sigma\pm 1)}\sqrt{(j\mp\sigma)(j\pm\sigma+1)}=\delta_{\sigma',(\sigma\pm 1)}(A_\pm)^j_\sigma,

故

\alpha_\tau(q_1,\dots)\sum_{i=1}^N (A_\pm)^j_{\sigma_i}\Psi_{\sigma_i\pm 1}^0=\sum_{i=1}^N (A_\pm)^j_{\sigma_i}\alpha_\tau(q_1,\dots,q_i\pm 1,\dots,q_N)\Psi_{\sigma_i\pm 1}^0+C_{J_\pm}(q_1,\cdots) \Psi_{ q_1,\dots}.

由于

( q_1,\dots)

永远不是

( q_1,\dots, q_i\pm 1,\dots, q_N)

的一个排列，所以

\Psi_{ q_1,\dots}

和

\Psi_{\sigma_i\pm 1}^0

正交，也就线性无关，故上式给出

C_{J_\pm}(q_1,\cdots)=0

且我们有

\alpha_\tau(q_1,\dots)\sum_{i=1}^N (A_\pm)^j_{\sigma_i}\Psi_{\sigma_i\pm 1}^0=\sum_{i=1}^N (A_\pm)^j_{\sigma_i}\alpha_\tau(q_1,\dots,q_i\pm 1,\dots,q_N)\Psi_{\sigma_i\pm 1}^0. \tag{2}

下面我们主要分析式(2). 如果

q_i\neq q_j

，不难看到，

\Psi_{\sigma_i\pm 1}^0

与

\Psi_{\sigma_j\pm 1}^0

正交。相互正交的矢量是线性无关的，所以我们可以把上式拆开来，变成几个形如

\alpha_\tau(q_1,\dots)\sum_{i=r}^s (A_\pm)^j_{\sigma_i}\Psi_{\sigma_i\pm 1}^0=\sum_{i=r}^s (A_\pm)^j_{\sigma_i}\alpha_\tau(q_1,\dots,q_i\pm 1,\dots,q_N)\Psi_{\sigma_i\pm 1}^0

的等式，其中

r<s

，根据我们的假设，对

r\leq k \leq s

，我们有

q_k=q_r=q_s

，即粒子状态完全相同。特别地，如果

s=r

，即没有与其相同状态的粒子的时候，则

\alpha_\tau(q_1,\dots,q_N)(A_\pm)^j_{\sigma_r}\Psi_{\sigma_r\pm 1}^0=\alpha_\tau(q_1,\dots,q_r\pm 1,\dots,q_N)(A_\pm)^j_{\sigma_r}\Psi_{\sigma_r\pm 1}^0.\tag{3}

对

-j \leq \sigma_r< j

，

(A_+)^{j}_{\sigma_r}\neq 0

，这意味着

\alpha_\tau(q_1,\dots,q_r+1,\dots,q_N)=\alpha_\tau(q_1,\dots,q_N)

成立。通过这个递推关系，我们可以一路把

\sigma_r

推到最高自旋

j

，而

\alpha_\tau

并不改变，所以

\alpha_\tau

其实不依赖于

\sigma_r

. 现在，我们来讨论

s>r

的情况，方便起见，可以假设

r=1

而

s=N

的情况，同时自旋都并不处于最高自旋

j

. 此时，记这些粒子都具有状态

q

，自旋

\sigma

. 首先，由于所有的

q_i

都相同，所以所有的

\sigma_i

也相同，

(A_\pm )^{j}_{\sigma_i}

也是，对

-j \leq \sigma_r< j

，有

\sum_{i=1}^N \alpha_\tau(q,\dots,q\pm 1,\dots,q)\Psi_{q,\dots,q\pm 1,\dots,q}=\alpha_\tau(q,\dots,q)\sum_{i=1}^N \Psi_{q,\dots,q\pm 1,\dots,q}

这里的求和是对第

i

位置的求和。对

\Psi_{q,\dots,q+1,\dots,q}

我们再一次应用式 (2) ，然后重复下面的逻辑，可以发现，由于

q+1\neq q

且只有一个，所以式 (3) 给出了

\alpha_\tau(q,\dots,q+ 1,\dots,q)(A_-)^j_{\sigma+1}\Psi_{q,\dots,q}=\alpha_\tau(q_1,\dots,q_N)(A_-)^j_{\sigma+1}\Psi_{q,\dots,q},

所以

\alpha_\tau(q,\dots,q+ 1,\dots,q)=\alpha_\tau(q,\dots,q)

. 此即所需。最后，我们回到

\alpha_\tau(q_1,\dots)\sum_{\sigma'}\prod_{i=1}^N D_{\sigma_i'\sigma_i}(W_i)\Psi_{(\Lambda \mathbf{p}_1,\sigma'_1),\dots}=\sum_{\sigma'}\prod_{i=1}^N D_{\sigma_i'\sigma_i}(W_i)\alpha_\tau(\Lambda q'_1,\dots)\Psi_{(\Lambda \mathbf{p}_{1},\sigma'_{1}),\dots},

由于

\alpha_\tau

不依赖于任意自旋，所以

\alpha_\tau(q_1,\dots)\sum_{\sigma'}\prod_{i=1}^N D_{\sigma_i'\sigma_i}(W_i)\Psi_{(\Lambda \mathbf{p}_1,\sigma'_1),\dots}=\alpha_\tau(\Lambda q_1,\dots)\prod_{i=1}^N \sum_{\sigma'}D_{\sigma_i'\sigma_i}(W_i)\Psi_{(\Lambda \mathbf{p}_{1},\sigma'_{1}),\dots},

两个系数应该相同，所以

\alpha_\tau(\Lambda q_1,\dots)=\alpha_\tau(q_1,\dots).

类似于无质量粒子的讨论，

\alpha_r

只能是

\{p_i\cdot p_j\,:\, i\neq j\}

的函数。

Proposition 4. 对任意置换 $\tau\in S_N$ ，如果 $\alpha_\tau$ 只依赖于 $\tau$ 置换的粒子的动量，则任取 $\xi\in S_N$ , $\alpha_\xi$ 不依赖于动量， $\tau\mapsto\alpha_\tau$ 构成 $S_N$ 的一个一维表示。

从物理上来看， $\alpha_\tau$ 只依赖于 $\tau$ 置换的粒子的动量是一个很容易理解的要求。我们不可能希望，当我们在地球上想办法交换两个电子，实验结果却可能依赖于现在还看不到的一次超新星爆发。这也是集团分解原理的精神。

Proof. 设

\tau

是一个两两置换，交换的两个粒子的动量为

p_1

和

p_2

，由假设，

\alpha_{\tau}

只依赖于

p_1\cdot p_2

. 注意到

p_1\cdot p_2=p_2\cdot p_1

，所以

\alpha_{\tau}(p_2\cdot p_1)=\alpha_{\tau}(p_1\cdot p_2).

现在从

\tau^2=1

以及复合公式，

1=\alpha_{\tau}(p_1\cdot p_2)\alpha_{\tau}(p_2\cdot p_1)=\alpha_{\tau}(p_1\cdot p_2)^2,

即

\alpha_{\tau}(p_1\cdot p_2)=\pm 1

. 由于

\alpha_\tau

是动量的连续函数，所以它并不依赖于任何

p_1\cdot p_2

，即

\alpha_{\tau}

就是一个常数，不依赖动量，也不依赖于自旋。由于所有置换都是两两置换复合得到的，利用复合公式，任意的

\alpha_\tau

我们都已经求得了，为

\pm 1

. 而复合公式写作

\alpha_\tau \alpha_\xi =\alpha_{\tau \xi}

，即

\alpha_\tau

构成

S_N

的一个一维表示。

有了这个结论，再注意到 $S_N$ 只有两种一维表示，我们现在给出费米子和玻色子的定义：如果全同粒子系统在置换下是平凡表示，则称我们处理的粒子是玻色子，否则称之为费米子。

Buwai Lee

交换图都不会画的魔法师