余切空间与切空间

1 一个局部 nn 维欧几里得空间是一个Hausdorff空间 MM 满足,对每一个点 pMp\in M ,存在一个 pp 的邻域 UMU\subset M 和一个同胚 φ:UV\varphi:U\to V ,其中 VV 是一个 Rn\mathbb{R}^n 中的开集。这个同胚有时候被称为一个坐标、坐标映射等,而资料 (U,φ)(U,\varphi) 被称为一个坐标卡

坐标 φ\varphi 经常写成分量形式, φ=(x1,,xn)\varphi=(x^1,\cdots,x^n) ,其中 xi:URx^i:U\to \mathbb{R} .

2 局部欧几里得空间 MM 上的一个光滑微分结构 F\mathscr{F} 是这样一族坐标卡 (Uα,φα)(U_\alpha,\varphi_\alpha) ,满足: {Uα}\{U_\alpha\} 构成 MM 的开覆盖, φαφβ1UαUβ\varphi_\alpha\circ\varphi^{-1}_\beta|_{U_\alpha\cap U_\beta} 是光滑映射,后者被称为坐标卡的相容性条件。此外,如果有一个坐标卡 (U,φ)(U,\varphi) 和每一个坐标卡都相容,那么可以推断出他在 F\mathscr{F} 中,这样的微分结构被称为极大微分结构。极大微分结构当然不一定是唯一的,不过我们不担心这个,因为我们往往是固定一个微分结构来研究流形的,下面假设出现的微分结构总是极大的。

3 一个 nn 维光滑流形 (M,F)(M,\mathscr{F}) 是一个赋予了光滑微分结构 F\mathscr{F} 的第二可数的局部欧几里得空间 MM .

我们想要做一个范畴,现在已经有了对象,那么自然需要态射,态射被如下定义:

4 设 (M,F)(M,\mathscr{F})(N,G)(N,\mathscr{G}) 是两个光滑流形,连续函数 f:MNf:M\to N 被称为一个光滑映射,如果 ψfφ1\psi\circ f\circ \varphi^{-1} 是一个光滑函数对任意的 F\mathscr{F} 中的坐标卡 (U,φ)(U,\varphi)G\mathscr{G} 中的坐标卡 (V,ψ)(V,\psi) 成立。

这样,光滑流形就构成了一个范畴,其中态射是流形间的光滑映射。他是拓扑空间范畴的子范畴。

从此以后,我们对一个固定的流形 (M,F)(M,\mathscr{F}) ,常常会略去他的微分结构,只写作 MM 。对于一个光滑流形 MM 的非空开子集 UU ,显然,他有继承自 MM 的一个拓扑结构和微分结构,所以 UU 也是一个光滑流形。很容易看到, Rn\mathbb{R}^n 是一个光滑流形,按照上面的结论,我们可以得到一类光滑流形, Rn\mathbb{R}^n 的开子集。比如把 n×nn\times n 矩阵放入 Rn2\mathbb{R}^{n^2} 内,那么行列式不为零的那些矩阵就构成一个光滑流形,记作 GL(n,R)\mathrm{GL}(n,\mathbb{R}) ,称作一般线性群。

特别地, R\mathbb{R} 也是一个光滑流形。我们称光滑映射 f:MRf:M\to \mathbb{R} 是一个 MM 上的光滑函数。光滑函数 ff 限制在 UMU\subset M 上也是一个光滑函数 fUf|_U .

5 设 MM 是一个光滑流形, UMU\subset M 上的光滑函数的集合记作 F(U)\mathcal{F}(U)F\mathcal{F} 被称为 MM 上的光滑函数。由于可以逐点定义加法和乘法,所以 F(U)\mathcal{F}(U) 拥有 R\mathbb{R} -代数结构。设 pMp\in M ,我们定义如下等价关系:设 UUVV 都是 pp 的邻域,以及 fF(U)f\in \mathcal{F}(U)gF(V)g\in \mathcal{F}(V) ,如果在一个 WUVW\subset U\cap V 上, fW=gWf|_W=g|_W ,则 fgf\sim g .所有这样的等价类记作 Fp\mathcal{F}_p ,称为 pp 处的光滑函数茎,他的代表元素可以写成 fp=U,ff_p=\langle U,f\rangle ,称为芽. 显然 Fp\mathcal{F}_p 有继承自 F(U)\mathcal{F}(U) 的自然的 R\mathbb{R} -代数结构。

pMp\in M ,茎 Fp\mathcal{F}_p 是一个局部环。实际上, U,fFp\langle U,f\rangle \in \mathcal{F}_pf(p)=0f(p)= 0 的元素构成了 Fp\mathcal{F}_p 的一个理想。不在这个理想内的 U,f\langle U,f\rangle ,由于 f(p)0f(p)\neq 0 ,那么适当缩小 UUVV ,由 ff 的连续性,总可以找到 VV 使得 fVf|_V 处处不为零,这样 V,1/fV\langle V,1/f|_V\rangle 便是 U,f\langle U,f\rangle 的一个逆。因此上面这个理想即 Fp\mathcal{F}_p 唯一的极大理想,我们其记作 mp\mathfrak{m}_p 。容易看到 Fp/mpR\mathcal{F}_p/\mathfrak{m}_p\cong \mathbb{R} ,实际上,对每一个芽 fpFpf_p\in\mathcal{F}_p ,都成立 fp=fpf(p)+f(p)f_p=f_p-f(p)+f(p) ,在 Fp/mp\mathcal{F}_p/\mathfrak{m}_p 中看,他和 f(p)Rf(p)\in\mathbb{R} 也就没区别了。

6 设 f:RnRf:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R} 光滑,则 f(x)=f(0)+if(0)xi+12gij(x)xixj, f(x)=f(0)+\partial_if(0)x^i+\frac{1}{2}g_{ij}(x)x^ix^j, 其中 gijg_{ij} 光滑。

为了证明这点,利用微积分基本定理 f(x)f(0)=01f(tx)dt=01if(tx)xidt=hi(x)xi, f(x)-f(0)=\int_0^1f'(tx)\mathrm{d} t=\int_0^1\partial_i f(tx)x^i\mathrm{d} t=h_i(x)x^i, 可以得到 hi(0)=if(0)h_i(0)=\partial_i f(0) ,然后再对 hih_i 使用上面的步骤即可得到我们想要的表达式。

7 引理:使用一个局部坐标 φ=(x1,,xn)\varphi=(x^1,\cdots,x^n)φ(p)=0\varphi(p)=0 ,可以将上面的引理翻译到流形上。设设 f:URf:U\to \mathbb{R} 光滑,则在 pp 的一个邻域 VV 上对任意的 qVq\in V 成立 f(q)=f(p)+fφ1xi(p)xi(q)+12gij(q)xi(q)xj(q), f(q)=f(p)+\frac{\partial f\circ \varphi^{-1}}{\partial x^i}(p)x^i(q)+\frac{1}{2}g_{ij}(q)x^i(q)x^j(q), 其中 gijg_{ij}VV 上光滑,以后我们就将那个偏微分记作 if(p)\partial_i f(p) .

8 设 pMp\in MMM 上的光滑函数层为 F\mathcal{F}pp 处的余切空间被定义为 TpM:=mp/mp2T_pM^*:=\mathfrak{m}_p/\mathfrak{m}_p^2 。余切空间的元素被称为余切矢量

mp/mp2\mathfrak{m}_p/\mathfrak{m}_p^2 确实是一个矢量空间。首先它显然是一个 Fp\mathcal{F}_p -模,然后任取 ampa\in \mathfrak{m}_p ,由于 amp/mp2=0a\mathfrak{m}_p/\mathfrak{m}_p^2=0 ,所以 mp/mp2\mathfrak{m}_p/\mathfrak{m}_p^2 是一个 Fp/mp\mathcal{F}_p/\mathfrak{m}_p -模,即 R\mathbb{R} -矢量空间。

9 设 pMp\in MMM 是一个 nn 维流形,则 TpM:=mp/mp2T_pM^*:=\mathfrak{m}_p/\mathfrak{m}_p^2nn 维的。

我们可以选取一组局部坐标来算维数,由于选取不同的局部坐标都是通过同胚联系的,所以不同的选取对维数没什么影响。由上面的引理,设 fpmpf_p\in \mathfrak{m}_p ,则他可以写作 fp=if(p)xpi+12gij(q)xpixpj f_p=\partial_i f(p)x^i_p+\frac{1}{2}g_{ij}(q)x^i_px^j_p 考虑一个局部坐标 φ=(x1,,xn)\varphi=(x^1,\cdots,x^n) ,设自然同态 dp:mpmp/mp2\mathrm{d}_p:\mathfrak{m}_p\to \mathfrak{m}_p/\mathfrak{m}_p^2 ,很简单就可以看到 dp(xpi)0\mathrm{d}_p(x^i_p)\neq 0 .实际上,如果 xpimp2x^i_p\in \mathfrak{m}_p^2 ,那么 xpi=rsx^i_p=rs ,其中 rr , smps\in \mathfrak{m}_p ,然后根据上面的引理 r=aixpi+r=a_ix^i_p+\cdots 以及 s=bixpi+s=b_ix^i_p+\cdots ,于是 xi=rs=ajbkxpjxpk+x^i=rs=a_jb_kx^j_px^k_p+\cdots ,但显然这是不可能的。

所以,如果 fpmpf_p\in \mathfrak{m}_p ,则 \[\begin{equation} \label{c1:e1} \mathrm{d}_p(f_p)=\partial_i f(p)\mathrm{d}_p(x^i_p). \end{equation}\] 这样所有的 TpM=mp/mp2T_pM^*=\mathfrak{m}_p/\mathfrak{m}_p^2 中的元素都可以由 dp(xpi)\mathrm{d}_p(x^i_p) 展开,他们都是非零的,而且容易证明是线性无关的,所以这是 TpMT_pM^* 的一组基,余切空间的维数计算完毕。

以后我们用 dp(f)\mathrm{d}_p(f) 乃至 dpf\mathrm{d}_pf 来记 dp(fp)\mathrm{d}_p(f_p) 。实际上,我们可以将 dp\mathrm{d}_p 定义在 Fp\mathcal{F}_p 上,设 aa 是一个常值芽,补充定义 dpa=0\mathrm{d}_pa=0 ,可以看到,此时式\eqref{c1:e1}依旧满足。以后我们就这样来看 dp:FpTpM\mathrm{d}_p:\mathcal{F}_p\to T_pM^* ,他被称为外微分算子。

10 设 f:MNf:M\to N 是一个光滑映射,上面的光滑函数层分别为 F\mathcal{F}G\mathcal{G} 。任取 φG(V)\varphi\in \mathcal{G}(V) ,可以通过 fφ=φff^*\varphi=\varphi\circ f 定义 fφF(f1(V))f^*\varphi\in \mathcal{F}(f^{-1}(V)) .

下面我们考虑两个流形余切空间之间的映射。设 V,φGf(p)\langle V,\varphi\rangle\in \mathcal{G}_{f(p)} ,于是 f1(V),φfFp\langle f^{-1}(V),\varphi\circ f\rangle\in \mathcal{F}_p ,所以 ff^* 诱导了一个 R\mathbb{R} -代数同态 fp:Gf(p)Fpf^*_p:\mathcal{G}_{f(p)}\to \mathcal{F}_p ,特别地,可以看到 fp:mf(p)mpf^*_p:\mathfrak{m}_{f(p)}\to \mathfrak{m}_{p} ,于是 fp:mf(p)2mp2f^*_p:\mathfrak{m}^2_{f(p)}\to \mathfrak{m}^2_{p} .

11 设 f:MNf:M\to N 是一个光滑映射,他诱导了一个线性映射(这里我们滥用一下记号) fp:Tf(p)NTpMf^*_p:T_{f(p)}N^*\to T_pM^* .

12 对于复合, (fg)p=gpfg(p)(f\circ g)^*_p=g^*_p\circ f^*_{g(p)} .很容易看到 idp=idTpM\mathrm{id}^*_p=\mathrm{id}_{T_pM^*} ,所以如果 f:MNf:M\to N 是同胚,则 fp:Tf(p)NTpMf_p^*:T_{f(p)}N^*\to T_pM^* 是同构。

13 利用复合公式,设 f:MNf:M\to N 是光滑映射,则 fp(df(p)g)=dp(fg)=dp(gf)f^*_p\bigl(\mathrm{d}_{f(p)}g\bigr)=\mathrm{d}_{p}(f^*g)=\mathrm{d}_p(g\circ f) .

14 设 pMp\in MMMnn 维光滑流形,则切空间 TpMT_pM 被定义为余切空间 TpMT_pM^* 的对偶空间。切空间的元素被称为切矢量。由于余切空间是有限维的,他的对偶空间也和他有着相同的维度,即 nn 维。

15 由于切空间是余切空间的对偶空间,所以他是余切空间上的线性函数构成的空间,反过来,由于是有限维的,所以可以认为对偶空间的对偶空间就是原本的空间,这就是说可以将余切空间的矢量看成切空间矢量的线性函数:设 dpfTpM\mathrm{d}_p f\in T_pM^*vTpMv\in T_pM ,定义 dpf(v):=v(dpf)\mathrm{d}_p f(v):=v(\mathrm{d}_p f) .

虽然上面这些个定义都很短也很清楚,不过操作上却没有那么简单。下面,我们将一个切矢量扩张到 Fp\mathcal{F}_p^* 上面去。

16 设 ff 是在 pp 附近的光滑函数,而 vTpMv\in T_pM ,可以通过 Dv(fp):=v(fpf(p))D_v(f_p):=v(f_p-f(p)) 定义线性映射 ip:lip(v)=DvFpi_p:l\mapsto i_p(v)=D_v\in \mathcal{F}_p^* ,他是一个单射。

注意到 (fg)p=fpgp(fg)_p=f_pg_p ,所以 Dv(fpgp)=v(fpgpf(p)g(p))=l((fpf(p))(gpg(p))+f(p)(gpg(p))+(fpf(p))g(p))=f(p)Dv(gp)+Dv(fp)g(p),\begin{aligned} D_v(f_pg_p)&=v(f_pg_p-f(p)g(p))\\ &=l\bigl((f_p-f(p))(g_p-g(p))+f(p)(g_p-g(p))+(f_p-f(p))g(p)\bigr)\\ &=f(p)D_v(g_p)+D_v(f_p)g(p), \end{aligned} 我们将满足这条性质的线性映射 DvFpD_v\in \mathcal{F}_p^* 称为 pp 处的导子,所有 pp 处的导子构成的空间暂时记作 VpV_p ,而他其实和 TpMT_pM 是同构的。

为了证明这点,任取导子 DVpD\in V_p ,由于 D(1)=D(1×1)=2D(1)D(1)=D(1\times 1)=2D(1) ,所以 D(1)=0D(1)=0 ,继而靠着 DD 的线性性,对于常值函数的芽 aa 来说, D(a)=aD(1)=0D(a)=aD(1)=0 。因为每一个 Fp\mathcal{F}_p 中的元素 fpf_p 都可以写成 fpf(p)+f(p)f_p-f(p)+f(p) 的形式,所以 D(fp)=D(fpf(p))D(f_p)=D(f_p-f(p)) ,这就是说,一个导子的性质完全由他在 mp\mathfrak{m}_p 上的值决定,这种关系是一对一的。即 πp:DDmp\pi_p:D\mapsto D|_{\mathfrak{m}_p} 是一个线性同构。

同时,设 fpf_p , gpmpg_p\in \mathfrak{m}_p ,则 πp(D)(fpgp)=f(p)πp(D)(gp)+g(p)πp(D)(fp)=0\pi_p(D)(f_pg_p)=f(p)\pi_p(D)(g_p)+g(p)\pi_p(D)(f_p)=0 ,于是 πp(D)(mp2)=0\pi_p(D)(\mathfrak{m}_p^2)=0 ,所以, πp(D)TpM\pi_p(D)\in T_pM ,即 DmpD|_{\mathfrak{m}_p} 是一个切矢量,因此导子 DD 完全由一个切矢量 Dmp=πp(D)D|_{\mathfrak{m}_p}=\pi_p(D) 决定。这样, ip:TpMVpi_p:T_pM\to V_p 也是一个满射,所以他是一个同构。当然我们也可以直接计算验证 πpip=idTpM\pi_p\circ i_p=\mathrm{id}_{T_pM} 以及 ipπp=idVpi_p\circ \pi_p=\mathrm{id}_{V_p}

因为有这个同构,所以以后我们用 TpMT_pM 来标记导子构成的矢量空间,一个导子才是一个切矢量。这样的好处是,我们在具体计算的时候,可以直接在 Fp\mathcal{F}_p 上进行而非 mp\mathfrak{m}_p 上,特别地,现在对于一个切向量 vv 来说,成立 dpf(v)=v(fp)\mathrm{d}_pf(v)=v(f_p) ,这是因为对一个导子 vv 来说 v(fp)=v(dpf)v(f_p)=v(\mathrm{d}_pf) .

17 设 f:MNf:M\to N 是一个光滑映射,定义它在 pMp\in M 处的导数为 Tpf=fp:TpMTf(p)NT_pf=f_{*p}:T_pM\to T_{f(p)}N 使得对任意的 vTpMv\in T_p M 和任意的 gf(p)mf(p)g_{f(p)}\in \mathfrak{m}_{f(p)} 成立 (fpv)(gf(p))=v(fpgf(p))(f_{*p}v)(g_{f(p)})=v(f_p^*g_{f(p)}) .

为以后的处理方便,不妨通过等同 i\partial_i 和标准基 eie_i 来等同 TpRnT_p\mathbb{R}^nRn\mathbb{R}^n 。此外,通过坐标卡上的同胚 φ\varphi ,我们用 i\partial_i 来标记 φp1(ei)\varphi^{-1}_{*p}(e_i) ,这显然是 TpMT_pM 处的一组基。

18 设 ff 是在 pp 附近的光滑函数,任取 vTpMv\in T_pM .因为 fp:TpMTf(p)R=Rf_{*p}:T_pM\to T_{f(p)}\mathbb{R}=\mathbb{R} ,所以 fp(v)f_{*p}(v) 是一个数,故而 fp(v)=fp(v)(idR)=v((idRf)p)=v(fp)=dpf(v). f_{*p}(v)=f_{*p}(v)(\mathrm{id}_{\mathbb{R}})=v\bigl((\mathrm{id}_{\mathbb{R}}\circ f)_p\bigr)=v(f_p)=\mathrm{d}_p f(v). 因为对所有的切矢量 vv 都成立上式,所以 fp=dpff_{*p}=\mathrm{d}_p f .

选定一个局部坐标,因为 dpxi(j)=jxi(p)=δji\mathrm{d}_p x^i(\partial_j)=\partial_jx^i(p)=\delta^i_j ,所以 dpxi\mathrm{d}_p x^i 就是 i\partial_i 的对偶基。下面我们来计算一个特别的例子,设 f:MRnf:M\to \mathbb{R}^n 是一个流形 MM 上的矢量值光滑函数,则 fi:MRf^i:M\to \mathbb{R} 是一个光滑函数,那么 fp=dpfieif_{*p}=\mathrm{d}_pf^i e_i ,其中 eie_iRn\mathbb{R}^n 的标准基。再设 f:RmRnf:\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^n ,则 dpfi=jfi(p)dxj=jfi(p)ej\mathrm{d}_pf^i=\partial_j f^i(p) \mathrm{d} x^j=\partial_j f^i(p) e^j .写成矩阵即 (fp)iji=jfi(p), (f_{*p})^{i}_{\phantom{i}j}=\partial_j f^i(p), 此即 ff 的Jacobian.

19 复合函数求导法则: (fg)p=fg(p)gp(f\circ g)_{*p}=f_{*g(p)}\circ g_{*p} .抽象表现出来是线性映射复合,表现在矩阵(即Jacobian)上就是两个矩阵相乘。

Buwai Lee

Buwai Lee

交换图都不会画的魔法师