小论正则量子化

正则量子化的一种“动机”

我们遵循 Weinberg QFT I 前五章的思路，得到了以下结论：

1. Wigner 定理：给定一个物理系统（即一个 Hilbert 空间），保持概率不变的操作（比如选取不同惯性参考系观察同一系统）将诱导一个这些操作构成的群在 Hilbert 空间上的 projective 表示。

   这里，我们考虑最重要的一类操作，“选取不同惯性参考系观察同一系统”，作为一个与狭义相对论相容的理论，按照相对性原理的精神，概率在不同惯性参考系下应该都是相同的。特别地，对于不含时间空间反演的 Poincaré 群。数学上的一些定理保证了，这些不可约 projective 表示一一对应于 $\operatorname{SL}(2,\mathbb C)\ltimes \mathbb R^4$ 的不可约表示，所以我们可以将不含时间空间反演的 Poincaré 群直接理解成 $\operatorname{SL}(2,\mathbb C)\ltimes \mathbb R^4$ .

2. Wigner 关于粒子分类的精神：不同粒子对应于 Poincaré 群不同的不可约表示。

3. 在上面的精神下，单粒子的分类用 little group 的诱导表示完成。并且，我们认为，两个量子系统是独立的，则整个系统的 Hilbert 空间应该写成两个系统的 Hilbert 空间的张量积的形式。所以，在这个意义下，自由多粒子态应该遵循单粒子表示的张量积。

4. 真实的物理系统应该满足集团分解原理：若一个系统被分为两个子系统，则这个系统对应的表示（由 Wigner 定理给出）在两个子系统之间的距离增大时，渐进地等于两个子系统的表示的张量积。非常粗略地来说，两个距离足够远的系统相互独立。

5. 利用全同粒子假设、集团分解原理，自由多粒子态的形式被唯一确定。进而，我们可以定义出自由单粒子的产生和湮灭算符。并且，可以证明，任何算符都可以用自由多粒子态的产生湮灭算符构造出来。

6. 一个物理系统的 $S$ -matrix 应该具有 Lorentz 不变性，物理上这意味着，in 和 out 态具有和自由粒子态相同的表示。如果仅作类比的话， $S$ -matrix 的 Lorentz 不变性是集团分解原理的“时间”对应，集团分解原理是空间拉远，而 $S$ -matrix 的 Lorentz 不变性是时间拉长。

7. Theorem : 设我们有一个相对论性量子力学理论，满足

   1. Poincaré 群的生成元写作： $$H=H_0+V,\quad \mathbf{P}= \mathbf{P}_0,\quad \mathbf{J}= \mathbf{J}_0,\quad \mathbf{K}=\mathbf{K}_0+\mathbf{W},$$ 其中带 $0$ 下标的生成元都是自由粒子 Poincaré 群的生成元。

   2. 存在一个算符 $\mathscr{H}(x)$ 满足：

      • 对任意的 Lorentz 变换 $\Lambda$ 和平移 $a$ ，成立 $$U_0(\Lambda,a)\mathscr{H}(x)U_0(\Lambda,a)^{-1}=\mathscr H(\Lambda x+a).$$
      • 如果 $x-y$ 类空，则 $[\mathscr{H}(x),\mathscr{H}(y)]=0$ .

   3. 该理论的 $V$ 和 $\mathbf{W}$ 为 $$V=\int d^3 x\, \mathscr{H}(\mathbf{x},0),\quad\mathbf{W}=-\int d^3 x \, \mathbf{x}\mathscr{H}(\mathbf{x},0).$$ 此时，这个理论下的 $S$ -matrix 满足 Lorentz 不变性。

8. Theorem : 如果一个理论的 $H$ 用产生湮灭算符展开后，每项的系数中只有一个代表动量守恒的 $\delta$ 函数，则这个理论满足集团分解原理。

9. 虽然同时满足 $S$ -matrix 的 Lorentz 不变性和集团分解原理的理论并不只有 Theorem 7 & 8 中的理论，但如果我们试图构造一个不是量子场论但同时满足上面两个原理的相对论量子力学，各种各样的问题将会出现，即使构造出来了，也并不如量子场论如此有用。所以，量子场论可能是融合狭义相对论和量子力学的“唯一”选择。

10. 为构造满足 Theorem 7 & 8 的理论，我们用产生和湮灭算符来构造 $H$ 或者说 $V$ 再或者 $V(t)$ ，由于 $V(t)$ 是写成一个相互作用密度 $\mathscr{H}$ 的积分，所以我们只需构造标量算符 $\mathscr{H}$ . 但是产生湮灭算符在表示下并不是标量算符，特别地，它带有动量指标但是没有坐标，所以，我们并不直接用产生和湮灭算符来构成标量算符 $\mathscr{H}$ ，而使用产生和湮灭算符关于动量的积分来构造 $\mathscr{H}$ ，即考虑算符 $$\psi_n^+ (x)=\int d^3\mathbf{p}\, u(x;\mathbf{p},n)a(\mathbf{p},n),\quad\psi_{n}^{-} (x)=\int d^3\mathbf p\, v(x;\mathbf p,n)a^\dagger (\mathbf p,n),$$ 其中 $n$ 是除了 $3$ -动量之外的其他指标。这些算符被称为场算符。

11. 我们按照 Poincaré 群的表示将场进行分类，得到了满足不同 Lorentz 不变性的（自由）场，进而研究了它们构造的 $\mathscr{H}$ 的性质，发现了一堆结论（比如自旋统计定理、反粒子存在性等），得到 $\mathscr{H}$ 真正的 building block 应该是 $\psi_n^+ (x)$ 和 $\psi^-_{n'}(x)$ 的线性组合（及其共轭算符），这就是一般意义上的场算符 $\psi$ . 当 $\mathscr{H}$ 由其构造时，Theorem 7 & 8 的条件得到满足。此外，场算符满足场方程。

在第五章，我们已经得到了自由场的正确形式，它由产生湮灭算符“线性组合”而成。所以反过来，因为任何算符都可以用产生湮灭算符表示，所以我们可以用场算符来表示动量和角动量算符，继而重新得到了这种情况下的 Poincaré 群的表示 $U(\Lambda,a)$ ！简而言之，如果以场算符为出发点，我们将重新得到此时的 Poincaré 群的表示。

所以，按照这种精神，我们应该以这种角度来看第七章的正则量子化：

这个表示就描述了这个物理系统全部的物理。比方说，利用这个表示我们可以去计算 $S$ -matrix 了。可以证明（见 Weinberg QFT I, Section 7.4），如果 Lagrangian 具有具有 Lorentz 对称性，则我们自然就得到了一个满足 $S$ -matrix 的 Lorentz 不变性的量子理论。其实，直接从 Theorem 7 出发也可以得到这点。

粗略来说，正则量子化就是，通过一个具有 Lorentz 对称性的 Lagrangian 给出 Poincaré 群在态矢量空间的一个表示。

真空

但是，当我们实际来操作的时候，问题就会接踵而至，比方说，我们用对称性方法得到了自由标量场 $$\phi(x)=\int \frac{d^3 \mathbf p}{(2\pi)^3}\frac 1 {\sqrt{2E}}\left(a(\mathbf p)e^{ip\cdot x}+a^\dagger(\mathbf p)e^{-ip\cdot x}\right),$$ 当我们试图用标量场来表示 Himiltonian 的时候，我们不得不引入一个无穷大。实际上，不难检查 $$H=\int d^3 \mathbf x\, \frac 12(\dot\phi^2+(\nabla\phi)^2+m^2\phi^2)=\int \frac{d^3\mathbf p}{(2\pi)^3}\, E \left(a^\dagger(\mathbf p)a(\mathbf p)+\frac 12 \delta^3(\mathbf p-\mathbf p)\right),$$ 他与正确的 $H_0$ 就差一个无穷大常数 $$\frac 12\int \frac{d^3\mathbf p}{(2\pi)^3}\, \sqrt{\mathbf p^2+m^2} \delta^3(\mathbf p-\mathbf p).$$ 这个常数可以重新表为 $(\Psi_0,H\Psi_0)$ ，即 $H$ 的真空期望。

如果使用正则量子化，写出 Lagrangian $$\mathcal L=-\frac 12 \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac 12 m^2\phi^2,$$ 不难算出其共轭场 $$\pi=\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot\phi}=-\partial^0\phi=\dot \phi,$$ 既然重新计算出了 Hamiltonian $$H=\int d^3\mathbf x\, (\pi \dot \phi-\mathcal L)=\int d^3 \mathbf x\, \frac 12(\pi^2+(\nabla\phi)^2+m^2\phi^2).$$ 所以，我们应该在 Lagrangian 中引入一个无穷大时候 $H$ 变成我们需要的 $H_0$ . 但这多少并不现实，所以，我们可以转而在算出 $H$ 之后，减去其真空期望来得到正确的 $H$ ，这也可以通过引入所谓的 normal ordering 来实现。类似地，为得到正确的 $P$ 和 $J^{\mu\nu}$ ，我们也都可以在算出后取 normal ordering 来得到正确的算符。

物理上，如果我们完全可以把从 Lagrangian 出发得到的 Himiltonian 看作真实的 Himiltonian. 虽然，此时的“真空”与我们之前定义的真空有着一个无穷大的能量差，真空的能量是我们可以任意选定的（不涉及广义相对论的情况下），我们之前取做了零而已。但是，在操作上，还是把真空的能量看作 $0$ 比较方便。所以在正则量子化得到相应的动量和角动量算符后，我们还需进行适当的平移，得到在我们的真空下正确的算符。

正则量子化的“缺陷”

很多人在读到 Weinberg QFT I 的第七章的时候都会觉得突兀，我也是如此。虽然，如果按照上面这个理解，则从这个角度来看，正则量子化的突兀程度大概和 Theorem 7 的题设的突兀程度差不多，因为两者都是直接给出了一个表示。

这种“突兀”感，归根结底，在于并不是一个表示给出一个 Lagrangian，相反，同一个 Lagrangian 完全可以给出不同的微扰论。而不同的微扰论中，一部分是可行的，一部分是不可行的，而甚至我们还无法判断它们是否在非微扰层次是等价的。比方说，我们将场算符做一个简单的缩放加平移， $\phi\to a\phi+b$ ，所有的算符都不会发生变换，这就等于把我们的场重命名了一下，所以经典的 Lagrangian 在物理上依然是相同的。但是，由于出现在 Lagrangian 中形式的自由部分却可能不同了，所以量子化后相互租用部分可能完全不同，进而实际上我们处理的是不同的微扰论。同时，因为场算符可以适当变换，Lagrangian 中出现的参数也可以完全没有意义！

如果承认正则量子化（相互作用场的正则对易关系），则从它可以推出路径积分量子化，继而非微扰地断言，同一个 Lagrangian 量子化后得到的是相同的量子系统。所以，现在有两个问题，其一，正则量子化是新引入的假设，还是说正则量子化可以由其他更基础的假设（比方说对称性原理）给出，或者说是否可以破坏正则量子化？其二，就是我们需要处理 Lagrangian 中的参数与微扰论的成立。

因为 Lagrangian 中的参数没什么意义，所以当我们自作多情地分离出自由部分和相互作用部分时，我们并不能断言如此做微扰是“物理的”。最直接地，算圈图的时候出现了紫外发散。这些困难与一些具有物理意义的困难绞在一起，在历史上极大地影响了我们对量子场论的认知。而对应的解决方法，就是重整化以及重整化群，从某种程度来说，他们是用来修正微扰论的，同时也可以带来一些非微扰的新认知。

如何来修正微扰论呢？一种思路是这样的：从对称性方法，我们可以确信对自由场写出的 Lagrangian 中的参数都是有具体的物理意义的，比如质量就是粒子的静止质量。回忆，质量将会表现为传播子的一个单极点，所以，如果我们适当重命名 Lagrangian 中出现的场，如果传播子在极点附近表现得就像自由场的传播子，则这个新的场可能就表现得会更好一些。确实，这种法子挽救了QED的微扰论，消去了无穷大。当然，有时我们还需要其他方法来消去无穷大。从非微扰角度来看，只要我们消去了无穷大（不管以何种重整化框架），最后算出来的物理结果都应该是相同的。消去无穷大的过程就是所谓的重整化，而在技术上，就是提供抵消项来修正微扰论。

但是，排除掉微扰论的麻烦后，可重整化的问题就又摆在了我们面前，我们遇到了怎么样也无法通过（加入有限项抵消项）重整化消去紫外发散的理论，这被称为不可重整理论。不可重整理论在不同的时代有不同的看法，曾经大家觉得好的理论都应该是可重整的，但现在，大家普遍采用有效理论的观点，即高能理论（或一些极端区域的理论）在现在的可观测区域被极度压低了，在可重整理论中，不可重整部分其实是极度压低了。

结语

上一节虽说是讨论正则量子化的“缺陷”，但我们也难免讨论起了微扰论的“缺陷”。正因为 Lagrangian 这套方法（正则量子化以及微扰论）有诸多不便，所以近年来（很久以前就流形过 $S$ -matrix 计划）有许多人试图避开 Lagrangian，单单从 $S$ -matrix 的性质得到一些东西。这样想当然是不稀奇的，但操作时常才是难点。比方说，怎么不用 Lagrangian 直接构造出 QED 对应的表示？

同时，考虑正则量子化的“缺陷”，我们也可以换种视角来看待一些问题。比方说，引力还适合用正则量子化这套框架吗？如果要套用正则量子化框架，那么时空背景就不会影响正则对易关系吗？事实是，大家都知道，比起“引力”，时空的弯曲才是正确看待广义相对论的方式。以往的研究往往就是从 Lagrangian 和微扰论直接出发，从某种角度看这就很不合适。

不管怎么样，如果可以发展出新一套方法来处理表示，那么我们的场论就有了一个新的武器。有理由相信，这个武器可能和正则量子化具有相同的力量。

Buwai Lee

交换图都不会画的魔法师